Le théorème de Pythagore : calculer une longueur

Informations générales

Note sur les sources

Cette fiche s'appuie réellement sur deux documents officiels.

1. Programme du cycle 4 (BOEN n° 31 du 30 juillet 2020). Dans le thème D « Espace et géométrie », sous-partie « Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer », la connaissance visée figure à la page 136 : « Le théorème de Pythagore et sa réciproque. » Le programme précise par ailleurs (compétences associées, p. 137) qu'il faut « mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriques » et que les élèves doivent avoir « mémorisé des images mentales (configurations de Pythagore et de Thalès...) ». Le calcul d'une longueur via Pythagore est aussi explicitement relié au thème A « Nombres et calculs » (p. 131-132) : « À l'occasion d'activités de recherche, ils peuvent rencontrer des nombres irrationnels, par exemple dans l'utilisation du théorème de Pythagore » et « Utiliser la racine carrée pour résoudre des problèmes, notamment géométriques ».

2. Document didactique : La résolution de problèmes mathématiques au collège (Les guides fondamentaux pour enseigner, ministère de l'Éducation nationale, 2021). Ce guide est générique : il ne porte pas spécifiquement sur Pythagore. Il est donc mobilisé ici pour la méthode, et non pour le contenu mathématique. On en retient : le triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire » ; l'importance du retour sur l'erreur comme pilier d'apprentissage (introduction, p. 16-17) ; la distinction entre traits de surface et structure mathématique d'un problème, qui fonde l'idée de faire reconnaître aux élèves « quand mobiliser Pythagore » plutôt que de leur faire appliquer une recette (chap. 7) ; la nécessité d'une trace écrite co-construite et structurée (introduction, p. 12) ; l'usage des questions flash pour les automatismes. Le chapitre 7 fournit même un exemple de question flash où, « malgré un habillage commun, des structures mathématiques différentes sont à mobiliser : respectivement le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore et des relations trigonométriques » (p. 186) — exploité ci-dessous dans la différenciation.

En mathématiques, il n'y a pas de document iconographique à étudier (contrairement à d'autres disciplines) : les figures servent d'outils de raisonnement, non d'objets d'analyse. Les schémas de cette fiche sont des tableaux markdown. Un outil de géométrie dynamique peut être mobilisé : voir une recherche GeoGebra Pythagore (aucune URL précise n'est garantie).

Attendus du programme

Citation exacte (cycle 4, thème D « Espace et géométrie », p. 136) :

« Le théorème de Pythagore et sa réciproque. »

Et, parmi les compétences associées (p. 137) :

« Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriques. »

Reformulation pour la séance. L'élève doit savoir reconnaître une configuration de triangle rectangle, énoncer le théorème de Pythagore reliant les trois côtés, et l'utiliser pour calculer la longueur de l'hypoténuse connaissant les deux côtés de l'angle droit. Le calcul d'un côté de l'angle droit (qui mobilise une soustraction) et la réciproque feront l'objet des séances suivantes ; cette séance se concentre sur l'hypoténuse pour stabiliser la structure du raisonnement avant d'en faire varier les cas de figure.

Compétences et connaissances visées

Connaissances - Énoncé du théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. - Identification de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, le plus long côté). - Lien carré / racine carrée : passer de BC² à BC.

Compétences mathématiques du programme (cycle 4) - Chercher : extraire d'une figure les informations utiles, repérer la configuration de Pythagore. - Modéliser : traduire une situation concrète (mât, échelle, écran) par un triangle rectangle. - Représenter : produire une figure à main levée codée à partir d'un énoncé. - Calculer : calculer de manière exacte ou approchée, combiner calcul mental (carrés parfaits) et calcul instrumenté (racine carrée), contrôler la vraisemblance. - Communiquer : rédiger un raisonnement déductif élémentaire (donnée → théorème → calcul → conclusion).

Objectifs (côté élève)

À la fin de la séance, je serai capable de : - repérer le triangle rectangle et son hypoténuse dans une figure ou un énoncé ; - écrire l'égalité de Pythagore avec les bonnes longueurs (l'hypoténuse au carré d'un côté, la somme de l'autre) ; - calculer la longueur de l'hypoténuse, en valeur exacte ou arrondie, et écrire l'unité ; - vérifier que mon résultat est vraisemblable (l'hypoténuse est le plus grand côté) ; - rédiger les étapes de mon calcul pour qu'un camarade les comprenne.

Erreurs typiques

Déroulement détaillé et chronométré

Total : 55 min (≈ 45 min effectives une fois l'accueil et le rangement défalqués).

Situation-problème (phase 11–21 min).

Sur le toit plat (horizontal) d'un collège, un technicien dresse un mât d'antenne vertical de 6 m. Pour le maintenir, il tend un câble (hauban) du sommet du mât jusqu'à un point d'ancrage situé sur le toit, à 8 m du pied du mât. Quelle longueur de câble faut-il prévoir ?

La situation présente un obstacle au sens du guide (le chemin de résolution n'est pas immédiat) : l'élève doit d'abord reconnaître que le mât vertical et le toit horizontal forment un angle droit, donc un triangle rectangle, avant de pouvoir appliquer Pythagore. La modélisation (passer du réel au triangle) est ici l'enjeu central.

Worked example n°1 — résolution rédigée au tableau (mât d'antenne).

Schéma codé de la configuration :

Rédaction-type : - Le triangle PSA est rectangle en P (mât vertical, toit horizontal). - D'après le théorème de Pythagore : SA² = PS² + PA². - SA² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. - Donc SA = √100 = 10. - Le câble mesure 10 m. (Contrôle : 10 m > 8 m et > 6 m, l'hypoténuse est bien le plus long côté.)

Worked example n°2 — application guidée (écran de télévision, triplet 5-12-13).

Un écran de télévision rectangulaire mesure 12 dm de large et 5 dm de haut. Quelle est la longueur de sa diagonale ?

• Le rectangle a un angle droit ; la diagonale d est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 5 dm et 12 dm.
• D'après Pythagore : d² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
• d = √169 = 13. La diagonale mesure 13 dm. (Contrôle : 13 > 12 et 13 > 5.)

Même structure que l'exemple n°1, habillage différent : le professeur le souligne explicitement (transfert).

Différenciation (3 niveaux)

Trace écrite CO-CONSTRUITE

Construite avec la classe (phase 41–49 min). Forme variée : un énoncé encadré, une méthode en 3 étapes présentée en tableau, un schéma de référence.

1. Le théorème (propriété, à savoir)

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Pour un triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC² (BC est l'hypoténuse).

2. Méthode pour calculer l'hypoténuse — les 3 étapes

3. Je contrôle. L'hypoténuse est toujours le plus grand côté : ici 10 m > 8 m et 10 m > 6 m. ✔

Schéma de référence (configuration de Pythagore) :

Auto-évaluation à indicateurs observables

L'élève coche selon ce qu'il observe concrètement dans son cahier / sa production.

Activités d'approfondissement

• Triplet 3-4-5 (vérification rapide). « Un triangle a pour côtés de l'angle droit 3 cm et 4 cm. Calcule l'hypoténuse. » → hypoténuse² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ; hypoténuse = √25 = 5 cm. Sert de question flash de réinvestissement.
• Distance sur un quadrillage. Placer deux points avec un écart horizontal de 8 carreaux et vertical de 6 carreaux et calculer la distance qui les sépare : √(6² + 8²) = √100 = 10 carreaux. Prépare le repérage du programme.
• Vers la soustraction (cas du côté de l'angle droit). « Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical, son pied à 3 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? » → hauteur² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16 ; hauteur = √16 = 4 m. Ici l'échelle (5 m) est l'hypoténuse : le professeur signale explicitement ce changement de cas qui amorce la séance suivante.
• Problème ouvert (abri deux versants), voir différenciation : conduit à un débat sur la modélisation et au triplet 1,5-2-2,5.

Prolongements

• Séance suivante : calculer un côté de l'angle droit (cas de la soustraction, amorcé avec l'échelle), puis la réciproque du théorème de Pythagore (« le triangle est-il rectangle ? ») — explicitement au programme (p. 136).
• Vers Pythagore dans l'espace : calcul d'une diagonale de pavé droit (lien avec « se repérer dans un parallélépipède rectangle », thème D p. 136).
• Nombres irrationnels : prolonger sur un cas où le résultat n'est pas un nombre entier (ex. côtés 1 et 1 → hypoténuse √2), en lien direct avec le programme (thème A, p. 132 : « rencontrer des nombres irrationnels […] dans l'utilisation du théorème de Pythagore »).
• Trigonométrie (fin de cycle 4) : dans le même triangle rectangle, introduire cosinus/sinus/tangente, pour bâtir la « classe de problèmes » du triangle rectangle où l'élève apprend à choisir l'outil (Pythagore si trois côtés en jeu, trigonométrie si un angle intervient) — démarche d'explicitation et de comparaison de problèmes recommandée par le guide (chap. 7).
• Esprit critique / vraisemblance : habituer à toujours estimer un ordre de grandeur avant de calculer, conformément à la compétence « contrôler la vraisemblance de ses résultats » (programme, p. 130).