Preuve — Maths — Fonctions linéaires (3ᵉ)
3ᵉ · « Les fonctions linéaires : reconnaître et utiliser la proportionnalité ». Une fiche de séance complète, produite avec les instructions du Projet de ce site et le programme officiel du niveau.
1. La fiche de séance (les instructions du Projet)
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Fiche de séance — Les fonctions linéaires : reconnaître et utiliser la proportionnalité (3ᵉ)
Informations générales
| Élément | Détail |
|---|---|
| Discipline / niveau | Mathématiques — 3ᵉ (cycle 4) |
| Thème du programme | Thème B « Organisation et gestion de données, fonctions » — « Comprendre et utiliser la notion de fonction » et « Résoudre des problèmes de proportionnalité » |
| Titre de la séance | Les fonctions linéaires : reconnaître et utiliser la proportionnalité |
| Créneau | 55 min (≈ 45 min effectives, accueil, appel, installation et rangement déduits) |
| Place dans la séquence | Séance 2-3 de la séquence « Fonctions » (la notion de fonction, image, antécédent, notation f(x) a déjà été introduite). Suivront : fonctions affines, comparaison linéaire / affine, pourcentages. |
| Pré-requis | Proportionnalité et coefficient (cycle 3, début cycle 4) ; notion de fonction ; vocabulaire image / antécédent ; notation f(x) ; repère et coordonnées ; lecture d'un tableau de valeurs. |
| Matériel | Vidéoprojecteur ; cahier ; règle ; calculatrice ; énoncé de la situation-problème ; fiche d'exercices différenciée (3 niveaux) ; repère préimprimé pour la phase graphique. |
| Modalités | Alternance individuel / binômes / classe entière ; explicitation et institutionnalisation co-construite. |
Note sur les sources
Cette fiche s'appuie sur deux documents officiels réellement consultés : - Programme de mathématiques du cycle 4 (
cycle4-mathematiques.pdf, d'après le BOEN n° 31 du 30 juillet 2020), Thème B « Organisation et gestion de données, fonctions » — citation verbatim et page ci-dessous. - Guide « La résolution de problèmes mathématiques au collège » (DGESCO, collection Les guides fondamentaux pour enseigner). Ce guide est générique : il ne traite pas spécifiquement des fonctions linéaires. Il est donc mobilisé pour la méthode (modélisation comme stratégie d'enseignement ; quatre piliers de l'apprentissage : attention, engagement actif, retour sur l'erreur, consolidation ; explicitation aux quatre moments-clés de la séance ; enseignement par « classes de problèmes »). Le guide cite d'ailleurs lui-même, parmi les classes de problèmes à enseigner, « problèmes de proportionnalité » et « problèmes modélisés par des fonctions » (chap. 7, note 171), ce qui légitime son emploi ici malgré son caractère générique. - Aucun document iconographique n'est à étudier dans cette séance : les mathématiques n'en requièrent pas ici. Le support graphique (droite passant par l'origine) est produit en classe par les élèves et/ou projeté avec un grapheur. Un outil de type GeoGebra peut être utilisé : on le cherchera via une recherche (par ex. « GeoGebra graphique en ligne ») plutôt que via une URL précise, non reproduite ici.
Attendus du programme
Citation exacte (programme cycle 4, Thème B — Organisation et gestion de données, fonctions, rubrique « Comprendre et utiliser la notion de fonction », page 133 — d'après le BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) :
« Connaissances – Vocabulaire : variable, fonction, antécédent, image. – Différents modes de représentation d'une fonction (expression symbolique, tableau de valeurs, représentation graphique, programme de calcul). – Notations f(x) et x ↦ f(x). – Fonction linéaire, fonction affine. Compétences associées – Passer d'un mode de représentation d'une fonction à un autre. – Déterminer, à partir d'un mode de représentation, l'image ou un antécédent d'un nombre par une fonction. – Représenter graphiquement une fonction linéaire, une fonction affine. – […] – Modéliser une situation de proportionnalité à l'aide d'une fonction linéaire. – Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions. »
Citation complémentaire (même thème, rubrique « Résoudre des problèmes de proportionnalité », page 133) :
« Connaissances – Coefficient de proportionnalité. […] Compétences associées – Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité. […] »
Reformulation. En fin de cycle 4, l'élève doit comprendre qu'une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire f : x ↦ ax, où a est le coefficient (de proportionnalité). Il doit savoir reconnaître la proportionnalité, calculer une image ou un antécédent, passer d'un mode de représentation à un autre (tableau ↔ formule ↔ graphique) et identifier le graphe d'une fonction linéaire comme une droite passant par l'origine. La séance vise précisément le pivot « proportionnalité ⇔ fonction linéaire ».
Compétences et connaissances visées
Connaissances - Fonction linéaire : f(x) = a × x, où a est le coefficient. - Caractérisation : une fonction est linéaire si et seulement si, pour tout x ≠ 0, le quotient f(x)/x est constant (et vaut a). - Vocabulaire : variable, image, antécédent. - Représentation graphique d'une fonction linéaire : droite passant par l'origine O(0 ; 0). - Distinction linéaire (x ↦ ax) / affine (x ↦ ax + b avec b ≠ 0).
Compétences mathématiques (les six compétences du programme : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer) - Modéliser : traduire une situation de proportionnalité par une fonction linéaire f(x) = ax (compétence centrale ici, conformément au guide qui érige la modélisation en stratégie d'enseignement). - Représenter : passer du tableau à la formule puis au graphique. - Calculer : déterminer un coefficient, une image, un antécédent. - Raisonner : justifier qu'une situation est (ou n'est pas) proportionnelle par la constance de f(x)/x. - Communiquer : verbaliser la procédure lors des mises en commun.
Objectifs d'apprentissage (côté élève)
À la fin de la séance, je suis capable de : 1. reconnaître une situation proportionnelle en vérifiant que f(x)/x est toujours le même nombre, et écrire la fonction f(x) = a × x en disant ce que représente a ; 2. calculer l'image d'un nombre (je connais x → je cherche f(x)) et un antécédent (je connais f(x) → je cherche x) ; 3. reconnaître le graphe d'une fonction linéaire : une droite qui passe par l'origine, et distinguer linéaire (ax) d'affine (ax + b, b ≠ 0).
Erreurs typiques à anticiper et à exploiter
| Erreur fréquente | Origine probable | Remédiation prévue |
|---|---|---|
| Confondre image et antécédent (« l'antécédent de 4 » pour « l'image de 4 ») | Vocabulaire non automatisé | Geste répété : image = je pars de x ; antécédent = je pars de f(x) ; flèche x → f(x) au tableau |
| Croire que toute situation « avec une formule » est proportionnelle | Conception intuitive (guide : « contrainte des conceptions intuitives ») | Contre-exemple affine f(x) = 2x + 3 : f(x)/x n'est pas constant |
| Penser que f(x) = ax + b est linéaire | Confusion linéaire / affine | f(0) = a×0 + b = b ≠ 0 ⇒ la droite ne passe pas par l'origine ⇒ pas linéaire |
| Calculer a à l'envers (x/f(x)) ou par soustraction (f(x) − x) | Surcharge / mauvaise opération | a = f(x)/x, vérifié sur plusieurs colonnes du tableau |
| Croire que la droite d'une fonction linéaire « peut ne pas passer par 0 » | Statut de l'origine non stabilisé | Tester x = 0 : f(0) = a×0 = 0 ⇒ O appartient toujours à la droite |
| Écrire f(x) = a sans le « × x » | Notation incomplète | f(x) = a × x ; sans le x, ce n'est pas une fonction de x |
Déroulement détaillé et chronométré
Modèle de temps : 55 min = accueil (3 min) + 49 min d'apprentissage + bilan/rangement (3 min). Total vérifié : 3 + 5 + 14 + 2 + 10 + 10 + 8 + 3 = 55 min.
| Durée | Phase | Modalité | Activité de l'enseignant | Activité de l'élève |
|---|---|---|---|---|
| 0–3 min (3') | Accueil | Classe | Installe la classe, fait l'appel, annonce l'objectif et le type de problème travaillé — guide : annoncer explicitement la « classe de problèmes » et éclaircir le but (1er moment d'explicitation) | S'installe, note l'objectif |
| 3–8 min (5') | Questions flash (activation) | Individuel puis classe | Projette 3 questions : (1) f(x) = 4x, calcule f(3) ; (2) f(x) = 4x, quel x donne f(x) = 20 ? ; (3) image ou antécédent ? | Répond, réactive image / antécédent. Réponses : f(3) = 4×3 = 12 ; 4x = 20 ⇒ x = 5 ; (1) image, (2) antécédent |
| 8–22 min (14') | Situation-problème (recherche) | Binômes | Distribue « Le plein de carburant » (ci-dessous), circule, étaye sans donner la réponse — guide : engagement actif ; modélisation comme stratégie | Complète le tableau, teste si proportionnel, propose une formule |
| 22–24 min (2') | STOP PÉDAGOGIQUE | Classe | Suspend l'activité (guide : 2ᵉ moment d'explicitation — faire expliciter les procédures amorcées). Question : « Comment être SÛR que c'est proportionnel ? » Fait émerger : on calcule prix ÷ litres pour chaque colonne et on compare | Verbalise sa procédure, la confronte au voisin |
| 24–34 min (10') | Worked examples (exemples résolus explicités) | Classe (tableau) | Déroule deux exemples résolus pas à pas (ci-dessous) : (A) modéliser et calculer une image ; (B) un antécédent. Explicite à voix haute chaque étape et le contre-exemple affine | Suit, recopie, repère les étapes transférables |
| 34–44 min (10') | Trace écrite co-construite + graphique | Classe | Construit avec les élèves le tableau-bilan (ci-dessous) ; fait formuler la caractérisation f(x)/x constant et l'allure du graphe ; trace f(x) = 1,8x via (0;0) et (10;18) | Propose les formulations, complète sa trace, lit une image/un antécédent sur le graphe |
| 44–52 min (8') | Réinvestissement / différenciation | Individuel | Distribue les 3 niveaux ; circule et régule — guide : retour sur l'erreur, consolidation | Traite l'exercice de son niveau en autonomie |
| 52–55 min (3') | Bilan + rangement | Classe | Fait dire l'essentiel en une phrase ; annonce la suite (fonctions affines) — guide : 4ᵉ moment d'explicitation, tissage avec la séance suivante ; lance le rangement | Auto-évalue (grille à indicateurs), range |
Énoncé de la situation-problème — « Le plein de carburant »
À la station-service, le prix payé est proportionnel au nombre de litres pris. Voici un relevé :
Litres pris (x) 10 20 35 50 Prix payé (€) 18 36 63 90
- Cette situation est-elle proportionnelle ? Justifie.
- Quel est le prix d'un litre ? Que représente ce nombre pour la fonction ?
- Écris la fonction f qui donne le prix en fonction du nombre de litres.
- Calcule f(42). Que représente ce résultat ?
- Avec 27 €, combien de litres puis-je prendre ?
Corrigé vérifié (recalcul colonne par colonne). 18/10 = 1,8 ; 36/20 = 1,8 ; 63/35 = 1,8 ; 90/50 = 1,8. Le quotient f(x)/x est constant et vaut 1,8 ⇒ situation proportionnelle, a = 1,8 (prix d'un litre, en €). Donc f(x) = 1,8 x. - f(42) = 1,8 × 42 = 75,6 € (image de 42 : prix de 42 litres). - 1,8 × x = 27 ⇒ x = 27 / 1,8 = 15 litres (antécédent de 27).
Worked examples explicités (phase 24–34 min)
Exemple A — modéliser puis calculer une image. Une imprimerie facture 0,12 € la photocopie. 1. Variable x = nombre de copies ; le prix est proportionnel au nombre de copies. 2. Coefficient a = 0,12 (prix d'une copie). Donc f(x) = 0,12 x. 3. Image de 250 : f(250) = 0,12 × 250 = 30 €. Vérif : 0,12 × 250 = 30. ✓
Exemple B — calculer un antécédent. Avec la même fonction f(x) = 0,12 x, combien de copies pour 9 € ? 1. On cherche x tel que f(x) = 9 : c'est un antécédent. 2. 0,12 × x = 9 ⇒ x = 9 / 0,12 = 75 copies. Vérif : 0,12 × 75 = 9. ✓
Contre-exemple affine (à montrer après l'exemple B). Abonnement : 5 € fixes + 0,12 € par copie ⇒ g(x) = 0,12 x + 5. Test : g(10)/10 = 6,2/10 = 0,62 ; g(20)/20 = 7,4/20 = 0,37. Le quotient n'est pas constant ⇒ g n'est pas linéaire (elle est affine) ; son graphe est une droite qui ne passe pas par l'origine, car g(0) = 5.
Différenciation (3 niveaux)
| Niveau | Public visé | Tâche | Étayage |
|---|---|---|---|
| Soutien | Élèves fragiles sur la procédure | Tableau déjà donné ; il reste à diviser une colonne pour trouver a, écrire f(x) = a x, calculer une image | Amorce écrite « a = … / … » ; rappel image/antécédent affiché ; code couleur (image en bleu, antécédent en rouge) ; coefficients entiers ; calculatrice d'emblée |
| Standard | Majorité de la classe | La situation-problème complète (5 questions), image et antécédent | Circulation et relances ; aucune réponse donnée |
| Approfondissement | Élèves à l'aise / rapides | Déterminer la fonction à partir d'un graphique (droite par O et par (4 ; 6)) ; comparer deux offres dont une affine et conclure ; relier au pourcentage (augmenter de 20 % ⇔ ×1,2) | Aucun étayage ; justification rédigée attendue (raisonner / communiquer) |
Trace écrite co-construite
(Construite avec les élèves lors de la phase 34–44 min ; ci-dessous la version cible.)
| Notion | À retenir | Exemple de la séance |
|---|---|---|
| Fonction linéaire | Une fonction linéaire s'écrit f(x) = a × x. Le nombre a est le coefficient. | f(x) = 1,8 x ; a = 1,8 |
| Lien avec la proportionnalité | Modéliser une situation proportionnelle, c'est utiliser une fonction linéaire. La situation est proportionnelle si et seulement si f(x)/x est constant (ce quotient constant est a). | 18/10 = 36/20 = … = 1,8 |
| Image | L'image de x est le nombre f(x) : je connais x, je calcule f(x) = a × x. | image de 42 : f(42) = 75,6 |
| Antécédent | Un antécédent de y est un x tel que f(x) = y : je connais f(x), je résous a × x = y. | antécédent de 27 : x = 15 |
| Représentation graphique | Le graphe d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine O(0 ; 0), car f(0) = a × 0 = 0. | droite par O et (10 ; 18) |
| Linéaire ≠ affine | Linéaire : f(x) = a x (droite par O). Affine : f(x) = a x + b avec b ≠ 0 (droite ne passant pas par O). | g(x) = 0,12 x + 5 est affine |
Auto-évaluation des élèves (indicateurs observables)
L'élève coche selon ce qu'il sait faire ; chaque ligne décrit un comportement observable dans son cahier.
| Je sais… | Indicateur observable (ce que je produis) | Acquis | En cours | À retravailler |
|---|---|---|---|---|
| reconnaître une proportionnalité | j'ai calculé f(x)/x sur au moins 2 colonnes et conclu sur la constance | ☐ | ☐ | ☐ |
| écrire la fonction linéaire | j'ai écrit f(x) = a × x avec la bonne valeur de a | ☐ | ☐ | ☐ |
| calculer une image | à partir de x donné, j'ai écrit f(x) = a × x et donné le résultat avec son unité | ☐ | ☐ | ☐ |
| calculer un antécédent | à partir de f(x) donné, j'ai résolu a × x = … et trouvé x | ☐ | ☐ | ☐ |
| identifier le graphe | j'ai dit que la droite passe par l'origine et justifié par f(0) = 0 | ☐ | ☐ | ☐ |
| distinguer linéaire / affine | j'ai reconnu qu'une formule a x + b (b ≠ 0) n'est pas linéaire | ☐ | ☐ | ☐ |
Auto-positionnement global : 🔴 je refais avec aide · 🟠 avec un exemple sous les yeux · 🟢 seul, et je l'explique.
Activités d'approfondissement
- Du graphique vers la formule. Une droite passe par O et par (4 ; 6). Déterminer a (a = 6/4 = 1,5), écrire f(x) = 1,5 x, calculer f(10) = 15. Vérif : 1,5 × 4 = 6 ✓.
- Comparaison d'offres (modélisation, esprit critique — guide). Offre A : 0,80 €/article (linéaire f(x) = 0,8 x). Offre B : 3 € d'adhésion + 0,50 €/article (affine g(x) = 0,5 x + 3). À partir de combien d'articles A devient-elle plus chère que B ? Résolution : 0,8 x = 0,5 x + 3 ⇒ 0,3 x = 3 ⇒ x = 10. À partir de 11 articles, B est plus avantageuse.
- Pourcentages et linéaire. Montrer qu'« augmenter de 15 % » revient à la fonction linéaire f(x) = 1,15 x.
- Verbalisation (communiquer). Rédiger en deux phrases pourquoi une fonction affine avec b ≠ 0 ne traduit pas une proportionnalité.
Prolongements
- Séance suivante (tissage annoncé en fin de séance) : les fonctions affines f(x) = ax + b, ordonnée à l'origine, lecture graphique de a et b — en réinvestissant le contre-exemple affine déjà rencontré.
- GeoGebra (recherche en ligne, voir Note sur les sources) : faire varier a dans f(x) = a x et observer que la droite pivote autour de l'origine ; comparer avec a x + b qui translate verticalement.
- Liens interdisciplinaires (cités par le programme p. 133 dans « Résoudre des problèmes de proportionnalité ») : loi d'Ohm U = R × I (physique-chimie), distance = vitesse × temps à vitesse constante (EPS, SVT), échelles et agrandissements (technologie, géographie).
- Classe de problèmes (guide) : inscrire cette séance dans une série de séances consécutives « problèmes de proportionnalité / problèmes modélisés par des fonctions » pour installer l'automatisme de reconnaissance.
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